Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，由4個(gè)點(diǎn)M（-a，b）、N（a，b）、F₂和F₁組成了一個(gè)高為，面積為3的等腰梯形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)F₁的直線和橢圓交于兩點(diǎn)A、B，求△F₂AB面積的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意知b=，=3，所以a+c=3①，
又a²=b²+c²，即a²=3+c²②，
聯(lián)立①②解得a=2，c=1，
所以橢圓方程為：；
（2）由（1）知F₁（-1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過點(diǎn)F₁的直線方程為x=ky-1，
由得（3k²+4）y²-6ky-9=0，△＞0成立，
且，，
△F₂AB的面積S==|y₁-y₂|=
==12=，
又k²≥0，所以遞增，
所以9+1+6=16，
所以≤=3，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取得等號，
所以△F₂AB面積的最大值為3．
分析：解：（1）由題意知b=，=3，即a+c=3①，又a²=3+c²②，聯(lián)立①②解得a，c，；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過點(diǎn)F₁的直線方程為x=ky-1，代入橢圓方程消掉x得y的二次方程，△F₂AB的面積S==|y₁-y₂|=，由韋達(dá)定理代入面積表達(dá)式變?yōu)閗的函數(shù)，適當(dāng)變形借助函數(shù)單調(diào)性即可求得S的最大值；
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查函數(shù)思想，解決（2）問的關(guān)鍵是合理表示三角形面積并對表達(dá)式恰當(dāng)變形．