Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，設b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）證明數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）數列{c_n}滿足c_n=（n∈N⁺），設T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若對一切n∈N⁺不等式4mT_n＞（n+2）c_n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據a_n+1=S_n+1-S_n，可得a_n+1=4a_n-4a_n-1．整理后可求得b_n=2b_n-1．進而可推斷數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知數列{b_n}的通項公式，進而可得c_n，根據裂項法求得c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，即T_n=，根據4mT_n＞（n+2），可得m的范圍，設f（x）=1++，可知f（x）在[1，+∞）為減函數，則飛f（1）為最大值，進而確定m的范圍．得出結論．
解答：證明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
當n≥2時，S_n=4a_n-1+1．②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1．
所a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，
所以b_n=2b_n-1．
因為a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，
所以a₂=3a₁+1=4．
所以b₁=a₂-2a₁=2．
故數列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，則c_n==
∴T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1
=+++…+
=-
=．
由4mT_n＞（n+2），得＞．
即m＞．
所以m＞．
所以m＞1+=1++．
設f（x）=1++，x≥1．
可知f（x）在[1，+∞）為減函數，又f（1）=，
則當n∈N時，有f（n）≤f（1）．
所以∴m＞．
故當m＞．時，4mT_n＞（n+2）c_n恒成立．
點評：本題主要考查等比數列的性質和用裂項法求和的問題．等比數列常與對數函數、不等式等知識綜合出題，是歷年來高考必考題目．