Question

長(zhǎng)沙市將河西作為環(huán)境友好型和資源節(jié)約型的兩型社會(huì)先導(dǎo)區(qū)，為加強(qiáng)先導(dǎo)區(qū)的建設(shè)，要改造楓林路，如圖所示，規(guī)劃沿路修建圓形休閑廣場(chǎng)，圓心為O，半徑為100米，其與楓林路一邊所在的直線l相切于M點(diǎn)，A為上半圓弧上一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化，設(shè)△ABM的面積為S（單位：平方米）
（Ⅰ）以∠AON=θ（rad）為參數(shù)，將S表示成θ的函數(shù)；
（Ⅱ）為使綠化的面積最大，試確定此時(shí)點(diǎn)A的位置及其最大的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義求出BM，AB的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式求出△ABM的面積S
（Ⅱ）對(duì)S求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）BM=AOsinθ=100sinθ，AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ    θ∈（0，π）
則S=

1

2

MB•AB=

1

2

×100sinθ×（100+100cosθ）
=5000sinθ（1+cosθ）
（Ⅱ）s′=5000（2cos²θ-cosθ-1）=5000（2cosθ-1）（cosθ-1）
令S′=0得cosθ=

1

2

，cosθ=-1（舍去），此時(shí)θ=

π

3

當(dāng)θ∈(0，

π

3

)時(shí)，S′＞0；
∴當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，S取得極大值，即S_最大值=3750

3

(m2)
答：當(dāng)AO與ON成60°角時(shí)，綠化面積最大，最大面積為3750

3

m²

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的定義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值：求導(dǎo)函數(shù)；令導(dǎo)函數(shù)等于0求根；判斷根左右兩邊的符號(hào)求出極值．