Question

在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設(shè)c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）要證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，只要是這個數(shù)列的后一項與前一項做差，證明差是一個定值，利用數(shù)列{a_n}的遞推式和兩個數(shù)列的關(guān)系式，根據(jù)首項和公差寫出通項，從而得到數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（2）根據(jù)前面做出的數(shù)列的通項，寫出一個新數(shù)列c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，要求數(shù)列的和，觀察數(shù)列的通項的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用錯位相減來求和，這是經(jīng)常考的一個求和方法．

解答：解：（1）證明：∵bn-1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
∵a1=1，∴b1=

2

2a1-1

=2
∴b_n=2+（n-1）×2=2n
由bn=

2

2an-1

得，2an-1=

2

bn

=

1

n

(n∈N*)
∴an=

n+1

2n

（2）由（1）的結(jié)論得an=

n+1

2n

，∴cn=n•2n+1•an=(n+1)•2n
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³++（n+1）•2ⁿ①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴++n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2•2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹2
=2+2ⁿ⁺¹-2-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹

點(diǎn)評：有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起．