Question

已知f（x）=x³，g（x）=-x²+x-

2

9

a，若存在x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），則實數(shù)a的取值范圍是

0＜a＜

-3+ 15?

2

或1＜a＜

5

2

．

Answer 1

分析：存在x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），轉化為存在x∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得（f（x）-g（x））_max＜0即可．

解答：解：由題意，存在x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），轉化為存在x∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得（f（x）-g（x））_max＜0即可，
令h（x）=f（x）-g（x）=x³+x²-x+

2

9

a，則h′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）
令h′（x）＞0解得x＜-1或x＞

1

3

，即h（x）在區(qū)間（-∞，-1）與（

1

3

，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，

1

3

）上是減函數(shù)
又x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），∵h（-1）＞0，∴h（

a

3

）=

a3

27

+

a2

9

-

a

3

+

2a

9

=

a3

27

+

a2

9

-

a

9

＜0，解得

-3- 21

2

＜a＜

-3+ 21

2

，故0＜a＜

-3+ 21

2

符合要求
綜上知，符合條件的參數(shù)a的取值范圍是0＜a＜

-3+ 21

2

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是存在x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），轉化為x∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得（f（x）-g（x））_max＜0