已知定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
為奇函數(shù).且f(
1
2
)=
2
5

(1)、求實(shí)數(shù)a、b的值.
(2)、求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù).
(3)、解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.
分析:(1)由“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”求,再結(jié)合f(
1
2
)=
2
5
求解.
(2)要求用定義,則先在給定的區(qū)間任取兩個(gè)變量,且界定大小,再作差變形看符號.
(3)由f(t-1)+f(t)<0.且f(x)為奇函數(shù),得f(t)<-f(t-1)=f(1-t),又函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的增函數(shù),故可求.
解答:解:(1)∵f(x)是在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù).
∴f(x)=
x
1+x2
∴f(o)=b=o
又f(
1
2
)=
a
2
+b
1+
1
4
=
2
5
∴a=1…(4分)
(2)設(shè)-1<x1<x2<1則f(x1)-f(x2)=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
∴-1<x1<x2<1∴x1-x2<01-x1x2>0(1+x12)(1+x22)>0∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)∴f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù).…(8分)
(3)∴f(t-1)+f(t)<0.且f(x)為奇函數(shù)∴f(t)<-f(t-1)=f(1-t)
又∴函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的增函數(shù).∴
t<1-t
-1<t<1
-1<1-t<1
0<t<
1
2

故關(guān)于t的不等式的解集為{t|0<t<
1
2
 }
…(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查應(yīng)用奇偶性來求函數(shù)解析式,應(yīng)用單調(diào)性定義來證明函數(shù)的單調(diào)性,還考查了綜合運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性來解不等式的能力
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間(-1、1)上的函數(shù)f(x)=
mx+n
x2+1
為奇函數(shù).且f(
1
2
)=
2
5

(1)、求實(shí)數(shù)m、n的值.
(2)、解關(guān)于 t 的不等式f(t-1)+f(t-2)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(I)計(jì)算:0.25×(-
1
2
)-1-4÷(
5
-1)0-(
1
27
)-
1
3
+lg25+2lg2
;
(II)已知定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
為奇函數(shù),且f(
1
2
)=
2
5

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)用定義證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù);
(3)解關(guān)于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間(-1,1)上的偶函數(shù)f(x),在(0,1)上為增函數(shù),f(a-2)-f(4-a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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