Question

知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2an+2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和等差，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式把已知條件a₃=5，S₁₅=225化簡(jiǎn)，得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的兩個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）把求出的通項(xiàng)公式a_n代入b_n=2an+2n中，得到b_n的通項(xiàng)公式，然后列舉出數(shù)列的各項(xiàng)，分別利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)后得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由題意，得

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 d=225

，
解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）bn=2an+2n=

1

2

•4n+2n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（4+4²+…+4ⁿ）+2（1+2+…+n）
=

4n+1-4

6

+n2+n=

2

3

•4n+n2+n-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．