Question

已知函數(shù)f(x)

1

3

ax3+bx2+x+3，其中a≠0．
（1）當a，b滿足什么條件時，f（x）取得極值？
（2）已知a＞0，且f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導，由題意可得f′（x）=0有解，由a≠0，分a＞0，a＜0討論可求解
（2）f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，可求解．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=ax²+2bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+2bx+1=0，
f（x）要取得極值，方程ax²+2bx+1=0，必須有解，
所以△=4b²-4a＞0，即b²＞a，
此時方程ax²+2bx+1=0的根為
x₁=

-2b- 4b2-4a

2a

=

-b- b2-a

a

，x₂=

-2b+ 4b2-4a

2a

=

-b-+ b2-a

a

，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
當a＞0時，

所以f（x）在x₁，x₂處分別取得極大值和極小值．
當a＜0時，

所以f（x）在x₁，x₂處分別取得極大值和極小值．
綜上，當a，b滿足b²＞a時，f（x）取得極值．
（2）要使f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥-

ax

2

-

1

2x

，x∈（0，1]恒成立，
所以b≥-(-

ax

2

-

1

2x

) max
設(shè)g（x）=-

ax

2

-

1

2x

，g′（x）=-

a

2

+

1

2x2

=

a(x2- 1 a )

2x2

，
令g′（x）=0得x=

1

a

或x=-

1

a

（舍去），
當a＞1時，0＜

1

a

＜1，當x∈（0，

1

a

]時g′（x）＞0，g（x）=-

ax

2

-

1

2x

單調(diào)增函數(shù)；
當x∈（

1

a

，1]時g′（x）＜0，g（x）=-

ax

2

-

1

2x

單調(diào)減函數(shù)，
所以當x=

1

a

時，g（x）取得最大，最大值為g（

1

a

）=-

a

．
所以b≥-

a

當0＜a≤1時，

1

a

≥1，
此時g′（x）≥0在區(qū)間（0，1]恒成立，
所以g（x）=-

ax

2

-

1

2x

在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，當x=1時g（x）最大，最大值為g（1）=-

a+1

2

，
所以b≥-

a+1

2

綜上，當a＞1時，b≥-

a

；
0＜a≤1時，b≥-

a+1

2

；

點評：本題考查了函數(shù)極值取得的條件，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題：由f′（x）＞0，解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；反之函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0恒成立，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論及轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．