Question

（2010•天津模擬）有甲、乙兩個籃球運動員，每人各投籃三次，甲三次投籃命中率均為

3

5

；乙第一次在距離8米處投籃命中率為

3

4

，若第一次投籃未中，則乙進行第二次投籃，但距離為12米，如果又未中，則乙進行第三次投籃，并且在投籃時距離為16米，乙若投中，則不再繼續(xù)投籃，且知乙命中的概率與距離的平方成反比．
（I）求乙投籃命中的概率；
（Ⅱ）求甲三次投籃命中次數(shù)ξ的期望與方差．

Answer 1

分析：（I）由題意記乙三次投籃依次為事件A、B、C，設(shè)乙命中概率與距離的平方成反比的比例系數(shù)為a，則由題意得：P(A)=

a

82

=

3

4

解出a=48（米），又P(B)=

a

122

=

1

3

，P(C)=

a

162

=

3

16

，故乙投籃命中的概率利用互斥事件及獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求出；
（II）由題意甲重復(fù)三次投籃的命中次數(shù)ξ服從二項分布，即ξ～B(3，

3

5

)，利用符合二項分布的期望公式即可求解．

解答：解：（I）記乙三次投籃依次為事件A、B、C，設(shè)乙命中概率與距離的平方成反比的比例系
數(shù)為a，則由題意得：P(A)=

a

82

=

3

4

，∴a=48（米），∴P(B)=

a

122

=

1

3

，P(C)=

a

162

=

3

16

，
故乙投籃命中的概率為
P=P(A)+P(

.

A

B)+P(

.

A

.

B

C)=P(A)+P(

.

A

)•P(B)+P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(C)=

3

4

+

1

4

×

1

3

+

1

4

×

2

3

×

3

16

=

83

96

，
（II）甲重復(fù)三次投籃的命中次數(shù)ξ服從二項分布，即ξ～B(3，

3

5

)，
則Eξ=np=3×

3

5

=

9

5

，Dξ=npq=3×

3

5

×

2

5

=

18

25

，

點評：本題主要考查概率與統(tǒng)計的有關(guān)知識，以及分析問題與解決問題的能力，知識上主要考查了獨立事件及互斥事件的概率公式，并且考查了符合二項分布的隨機變量的期望公式及方差公式．