【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí),無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)或,有2個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅱ）見解析

【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)可得,再分與兩種情況進(jìn)行討論即可.

(Ⅱ)由(Ⅰ)以及可得,再求得關(guān)于的解析式,再令,構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值證明即可.

解：（Ⅰ）由題得,的定義域?yàn)?/span>,

ⅰ.若,則,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.

所以,是唯一的極小值點(diǎn),無極大值,故此時(shí)有且僅有1個(gè)極值點(diǎn).

ⅱ. ,令

①當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,

當(dāng),單調(diào)遞減.

所以,分別是極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),故此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí),是的不變號零點(diǎn),且

故此時(shí)在上單調(diào)遞增,無極值點(diǎn).

③當(dāng)時(shí),,則時(shí),單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.

所以,分別是極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),此時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn).

綜上,當(dāng)時(shí),無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)或,有2個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅱ）證明：若是的一個(gè)極值點(diǎn),

由（Ⅰ）知,或,且,

,

令,則,所以

故

所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,

所以是唯一極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),即 .

從而,即.（證畢）

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，點(diǎn)P在棱DF上．

（1）若P是DF的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為，求PF的長度．

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【題目】正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，（為常數(shù)）.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若，且，對任意，都有，求的值；

（3）若，是否存在正整數(shù)，且，使得，，三項(xiàng)成等比數(shù)列？

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【題目】設(shè)點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作拋物線的兩條切線，其中A、B為切點(diǎn).

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（2）當(dāng)的面積為時(shí)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱．某市為了了解人們對“一帶一路”的認(rèn)知程度，對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（90分及以上為認(rèn)知程度高）.現(xiàn)從參賽者中抽取了人，按年齡分成5組，第一組： ，第二組： ，第三組： ，第四組： ，第五組： ，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人．

（1）求；

（2）求抽取的人的年齡的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；

（3）從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶 五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個(gè)按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽，分別代表相應(yīng)組的成績，年齡組中1～5組的成績分別為93，96，97，94，90，職業(yè)組中1～5組的成績分別為93，98，94，95，90．

（Ⅰ）分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差；

（Ⅱ）以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對“一帶一路”的認(rèn)知程度．

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【題目】2019年7月,中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國際社會認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間Ｔ(單位:年)的衰變規(guī)律滿足(表示碳14原有的質(zhì)量),則經(jīng)過5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>______;經(jīng)過測定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的至,據(jù)此推測良渚古城存在的時(shí)期距今約在5730年到______年之間.(參考數(shù)據(jù):,,)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】要得到的圖象,只要將圖象怎樣變化得到( )

A.將的圖象沿x軸方向向左平移個(gè)單位

B.將的圖象沿x軸方向向右平移個(gè)單位

C.先作關(guān)于x軸對稱圖象,再將圖象沿x軸方向向右平移個(gè)單位

D.先作關(guān)于x軸對稱圖象,再將圖象沿x軸方向向左平移個(gè)單位

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】．（本小題滿分16分）

已知函數(shù)，并設(shè)，

（1）若圖像在處的切線方程為，求、的值；

（2）若函數(shù)是上單調(diào)遞減，則

① 當(dāng)時(shí)，試判斷與的大小關(guān)系，并證明之；

② 對滿足題設(shè)條件的任意、，不等式恒成立，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個(gè)零點(diǎn)為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．

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