【題目】當前,以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中聯招對初三畢業(yè)學生進行體育測試,是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動,保證學生健康成長的有效措施.某地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試,三項考試滿分為50分,其中立定跳遠15分,擲實心球15分,1分鐘跳繩20分.某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況,隨機抽取了100名學生進行測試,得到如下頻率分布直方圖,且規(guī)定計分規(guī)則如下表:
每分鐘跳 繩個數 | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)現從樣本的100名學生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于33分的概率;
(Ⅱ)若該校初三年級所有學生的跳繩個數服從正態(tài)分布,用樣本數據的平均值和方差估計總體的期望和方差(結果四舍五入到整數),已知樣本方差(各組數據用中點值代替).根據往年經驗,該校初三年級學生經過一年的訓練,正式測試時每人每分鐘跳繩個數都有明顯進步,假設明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數比初三上學期開始時個數增加10個,利用現所得正態(tài)分布模型:
(ⅰ)預估全年級恰好有1000名學生,正式測試時每分鐘跳193個以上的人數.(結果四舍五入到整數)
(ⅱ)若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)生中任意選取3人,記正式測試時每分鐘跳202個以上的人數為,求隨機變量的分布列和期望.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,,則,
,
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)(ⅰ),(ⅱ)分布列見解析 ,
【解析】
(Ⅰ)根據頻率分布直方圖計算,每分鐘跳繩個數的人數為(人)每分鐘跳繩個數的人數為(人),由題意可知,兩人得分之和不大于33分,即兩人得分均為16分,或兩人中1人16分,1人17分,根據互斥事件概率加法公式,計算即可.
(Ⅱ)根據頻率分布直方圖計算樣本的均值,可知正式測試時期望的估計值,方差,計算,,(ⅰ)根據正態(tài)分布的對稱性,計算,求解人數即可. (ⅱ)由正態(tài)分布模型,在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人,每分鐘跳繩個數202以上的概率為,則服從二項分布,即,計算分布列和期望,即可.
(Ⅰ)由題意可知,得16分的人數為5人,得17分的人數為9人,兩人得分之和不大于33分,即兩人得分均為16分,或兩人中1人16分,1人17分.
所以,兩人得分之和不大于33分的概率為:.
(Ⅱ)(個)
又,,所以正式測試時,,.
∴,.
(ⅰ)∴,∴(人).
(ⅱ)由正態(tài)分布模型,在該地區(qū)2020年初三畢業(yè)生中任取1人,每分鐘跳繩個數202以上的概率為,即.
∴,,
,,
∴的分布列為
0 | 1 | 2 | 3 | |
.
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【題目】已知函數.
(1)若,且在上存在零點,求實數的取值范圍;
(2)若對任意,存在使,求實數的取值范圍;
(3)若存在實數,使得當時,恒成立,求實數的最大值.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acosB=2c﹣b.
(1)求∠A的大。
(2)若△ABC的外接圓的半徑為,面積為,求△ABC的周長.
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【題目】已知等差數列{bn}的前n項和為Tn,且T4=4,b5=6.
(1)求數列{bn}的通項公式;
(2)若正整數n1,n2,…,nt,…滿足5<n1<n2<…<nt,…且b3,b5,,,…,,…成等比數列,求數列{nt}的通項公式(t是正整數);
(3)給出命題:在公比不等于1的等比數列{an}中,前n項和為Sn,若am,am+2,am+1成等差數列,則Sm,Sm+2,Sm+1也成等差數列.試判斷此命題的真假,并證明你的結論.
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【題目】已知橢圓:過點,過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點.
(1)證明:當取得最小值時,橢圓的離心率為.
(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】隨著金融市場的發(fā)展,越來越多人選擇投資“黃金”作為理財的手段,下面將A市把黃金作為理財產品的投資人的年齡情況統(tǒng)計如下圖所示.
(1)求把黃金作為理財產品的投資者的年齡的中位數;(結果用小數表示,小數點后保留兩位有效數字)
(2)現按照分層抽樣的方法從年齡在和的投資者中隨機抽取5人,再從這5人中隨機抽取3人進行投資調查,求恰有1人年齡在的概率.
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【題目】如圖,由半圓和部分拋物線合成的曲線稱為“羽毛球開線”,曲線與軸有兩個焦點,且經過點
(1)求的值;
(2)設為曲線上的動點,求的最小值;
(3)過且斜率為的直線與“羽毛球形線”相交于點三點,問是否存在實數使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。
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