Question

已知：

a

、

b

、

c

是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐標(biāo)；
（2）若

b

=(1，1)，且

a

與

a

+λ

b

的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

c

=λ

a

=（λ，2λ），由|

c

|=2

5

，可得 λ²+4λ²=20，解方程求得λ 值．
（2）求出

a

+λ

b

=（λ+1，λ+2），由

a

與

a

+λ

b

的夾角為銳角可得

a

•（

a

+λ

b

）＞0，解得λ的范圍，
而當(dāng)

a

與

a

+λ

b

共線且方向相同時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的λ的值，從而得到λ的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2），

c

∥

a

，故可設(shè)

c

=λ

a

=（λ，2λ），由|

c

|=2

5

，可得 λ²+4λ²=20，
解得 λ=±2，
∴

c

=（2，4）或（-2，-4）．
（2）∵

a

=（1，2），

b

=(1，1)，
∴

a

+λ

b

=（λ+1，λ+2），
∵

a

與

a

+λ

b

的夾角為銳角，
∴

a

•（

a

+λ

b

）＞0，
∴λ+1+2λ+4＞0，λ＞-

5

3

．
而當(dāng)

a

與

a

+λ

b

共線且方向相同時(shí)，（λ+1，λ+2）=k（1，2），k＞0，
解得 λ=0，
故λ的取值范圍為（-

5

3

，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．