3．在△ABC中，D為AC上一點，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DC}$，P為BD上一點，且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是（　　）
A．10B．9C．8D．11

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AP}$，根據(jù)三點共線得出m，n的關(guān)系，利用基本不等式得出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$，∴$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AD}$．
∴$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+4n$\overrightarrow{AD}$，
∵B，P，D三點共線，∴m+4n=1．
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+4n}{m}+\frac{m+4n}{n}$=$\frac{4n}{m}+\frac{m}{n}$+5≥2$\sqrt{4}$+5=9，
當且僅當$\frac{4n}{m}=\frac{m}{n}$時取等號．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．已知圓C：（x+4）2+y2=4，圓D的圓心D在y軸上且與圓C外切，圓D與y軸交于A，B兩點，定點P的坐標為（-3，0）．
（1）若點D（0，3），求△APB的正切值；
（2）當點D在y軸上運動時，求tan∠APB的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．在平行四邊形ABCD中，AC與DB交于點O，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（Ⅰ）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{BD}$；
（Ⅱ）若E為DO的中點，$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow$，求λ+μ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．證明不等式：
（1）當x∈[-1，0]時，求證：$\frac{1+x}{1-x}$≤e2x≤$\frac{1}{（1-x）^{2}}$；
（2）已知函數(shù)f（x）=xlnx，設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，證明：$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

18．某校對高三年級的學生進行體檢，現(xiàn)將高三男生的體重（單位：kg）數(shù)據(jù)進行整理后分成六組，并繪制頻率分布直方圖（如圖）．已知圖中從左到右第一、第六小組的頻率分別為0.16、0.07，第一、第二、第三小組的頻率成等比數(shù)列，第三、第四、第五、第六小組的頻率成等差數(shù)列，且第三小組的頻數(shù)為236，則該校高三年級的男生總數(shù)為（　�。�
A．800B．960C．944D．888

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．過點（2，3）的直線l與圓 C：x2+y2+4x+3=0交于A，B兩點，當弦|AB|取最大值時，直線l的方程為（　　）
A．3x-4y+6=0B．3x-4y-6=0C．4x-3y+8=0D．4x+3y-8=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）（x＜0）}\\{g（x）+1（x＞0）}\end{array}\right.$，若f（x）是奇函數(shù)，則g（3）=-3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．如圖：A，B，C是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的頂點，點F（c，0）為橢圓的右焦點，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓過點$（{2\sqrt{3}，1}）$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上除頂點外的任意一點，直線CP交x軸于點E，直線BC與AP相交于點D，連結(jié)DE．設(shè)直線AP的斜率為k，直線DE的斜率為k1，證明：$2{k_1}=k+\frac{1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{lnx}$在x=e處的切線經(jīng)過點（1，e）．（e=2.71828…）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[${e^{\frac{1}{4}}}$，e]上的最值；
（Ⅱ）若方程g（x）=tf（x）-x在$[\frac{1}{e}，1）∪（1，{e^2}]$上有兩個零點，求實數(shù)t的取值范圍．

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