Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使BD=3

2

，得到三棱錐B-ACD．
（Ⅰ）若點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用OM是△ABC的中位線(xiàn)，可得OM∥AB，利用線(xiàn)面平行的判定，可得OM∥平面ABD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABD的法向量、平面BOD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-BD-O的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，
所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M是△ABC的中位線(xiàn)，OM∥AB．…（2分）
因?yàn)镺M?平面ABD，AB?平面ABD，
所以O(shè)M∥平面ABD．…（6分）
（Ⅱ）解：由題意，OB=OD=3，
因?yàn)?span id="mjbiphj" class="MathJye">BD=3

2

，所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（7分）
又因?yàn)榱庑蜛BCD，所以O(shè)B⊥AC，OD⊥AC．
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示.A(3

3

，0，0)， D(0，3，0)，B（0，0，3）．
所以

AB

=(-3

3

，0，3)， 

AD

=(-3

3

，3，0)，…（8分）
設(shè)平面ABD的法向量為

n

=（x，y，z），則有

AB •n=0 AD •n=0

即：

-3 3 x+3z=0 -3 3 x+3y=0

令x=1，則y=

3

，z=

3

，所以

n

=(1，

3

，

3

)．…（10分）
因?yàn)锳C⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量與AC平行，所以平面BOD的法向量為

n0

=（1，0，0）．…（11分）
所以cos＜

n0

，

n

＞ = 

n0 • n

| n0 || n |

=

1

1× 7

=

7

7

，
因?yàn)槎�面角A-BD-O是銳角，
所以二面角A-BD-O的余弦值為

7

7

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)面平行的判定方法，正確運(yùn)用向量法解決空間角問(wèn)題．