Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

(

1

2

sin2x)．
（1）求它的定義域、值域；
（2）判斷它的奇偶性；
（3）判斷它的周期性；
（4）寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

（1）由

1

2

sin2x＞0，∴sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，解得kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z
故函數(shù)f（x）的定義域為{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}…（3分）
因0＜

1

2

sin2x≤

1

2

，故log

1

2

(

1

2

sin2x)≥1
故函數(shù)f（x）的值域為[1，+∞）．…（5分）
（2）因為函數(shù)f（x）的定義域為{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}，關(guān)于原點不對稱，故此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．…（7分）
（3）因為log

1

2

(

1

2

sin2(x+π))=log

1

2

(

1

2

sin2x)，所以此函數(shù)的周期為T=π．…（10分）
（4）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，故求函數(shù)t=sin2x的單調(diào)遞減區(qū)間．
又考慮到原函數(shù)的定義域，故2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+π，k∈Z，
即為kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z
故函數(shù)的遞增區(qū)間為（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

），k∈Z．…（14分）