Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，求f（x）表達(dá)式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在1處的值為3，在-2處的值為0，函數(shù)在1處的值為4，列出方程組求出a，b，c的值．
（2）令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在[-2，1]上恒成立，通過對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間關(guān)系的討論求出導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
∴

f′(1)=3 f(1)=4

即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4

∵函數(shù)y=f（x）在x=-2時(shí)有極值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 -4a+b=-12

解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x²-bx+b
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增
∴f′（x）≥0即3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
①當(dāng)x=

b

6

≥1時(shí)f′（x）的最小值為f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6
②當(dāng)x=

b

6

≤-2時(shí)，f′(x)的最小值為f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈∅
③-2＜

b

6

＜1時(shí)，f′（x）的最小值為

12b-b2

12

≥0
∴0≤b≤6
總之b的取值范圍是0≤b≤6

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是切線的斜率；考查函數(shù)單調(diào)遞增對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，．