已知:f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a(a∈R,a為常數(shù))
(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在[-
π
6
,
π
4
]
上最大值與最小值之和為3,求a的值;
(3)在(2)條件下f(x)先經(jīng)過(guò)平移變換,再經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到y(tǒng)=sinx,請(qǐng)寫(xiě)出完整的變換過(guò)程.
分析:(1)利用三角函數(shù)中的恒等變換可將f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a化為:f(x)=2sin(2x+
π
6
)+a+1,從而可求f(x)的最小正周期;
(2)由x∈[-
π
6
,
π
4
]⇒2x∈[-
π
3
π
2
]⇒2x+
π
6
∈[-
π
6
,
3
],利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意即可求得a的值;
(3)利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換即可求在(2)條件下由f(x)變換得到y(tǒng)=sinx的變換過(guò)程.
解答:解:(1)∵f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a
=cos2x++
3
sin2x+a+1
=2sin(2x+
π
6
)+a+1…(2分)
∴最小正周期T=
2
=π…(3分)
(2)∵x∈[-
π
6
,
π
4
],
∴2x∈[-
π
3
,
π
2
],2x+
π
6
∈[-
π
6
3
],…(4分)
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1…(5分)
即f(x)min=a,f(x)max=a+3,
∴a+a+3=3,故a=0    …(6分)
(3)將f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1的圖象先向右平移
π
12
個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位,得到f(x)=2sin2x的圖象,…(8分)
再將f(x)=2sin2x的圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的
1
2
,得到f(x)=sinx的圖象. (10分)                       …(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)中的恒等變換,考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
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已知y=f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x≠0時(shí),f′(x)+
f(x)
x
>0
,則關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f(x)+
1
x
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( 。

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①將f(x)的圖象向右平移
π
2
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②y=f(x)g(x)是偶函數(shù);
③y=
f(x)
g(x)
是以π為周期的周期函數(shù);
④對(duì)于?x1∈R,?x2∈R,使f(x1)>g(x2).
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。

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x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.13 15.55 -3.92 10.88 -52.48 -232.06
則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4

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