Question

已知：f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R，a為常數(shù)）
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

4

]上最大值與最小值之和為3，求a的值；
（3）在（2）條件下f（x）先經(jīng)過(guò)平移變換，再經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到y(tǒng)=sinx，請(qǐng)寫(xiě)出完整的變換過(guò)程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換可將f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a化為：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，從而可求f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-

π

6

，

π

4

]⇒2x∈[-

π

3

，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意即可求得a的值；
（3）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求在（2）條件下由f（x）變換得到y(tǒng)=sinx的變換過(guò)程．

解答：解：（1）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a
=cos2x++

3

sin2x+a+1
=2sin（2x+

π

6

）+a+1…（2分）
∴最小正周期T=

2π

2

=π…（3分）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴2x∈[-

π

3

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，…（4分）
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1…（5分）
即f（x）_min=a，f（x）_max=a+3，
∴a+a+3=3，故a=0    …（6分）
（3）將f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1的圖象先向右平移

π

12

個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到f（x）=2sin2x的圖象，…（8分）
再將f（x）=2sin2x的圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

，得到f（x）=sinx的圖象． （10分）                       …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．