Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx，且f(x+1)為偶函數，定義：滿足f(x)=x的實數x稱為函數f(x)的不動點，若函數f(x)有且僅有一個不動點，

(1)求f(x)的解析式；

(2) 若函數g(x)= f(x)++x²在 (0，]上是單調減函數，求實數k的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，是否存在區(qū)間[m，n](m<n)，使得f(x)在區(qū)間[m，n]上的值域為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）f(x)= -x²+x；（2）k；（3）同解析。

解析:

 (1)f(x+1) =a(x+1) ²+b(x+1) = ax ²+(2a+b)x+a+b為偶函數，

∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f(x)=ax²-2ax，′

∵函數f(x)有且僅有一個不動點，∴方程f(x)=x有且僅有一個解，

∴ax²-(2a+1)x=0有且僅有一個解，∴2a+1=0，a=-，∴f(x)= -x²+x

(2) g(x)= f(x)++x²=x+在 (0，]上是單調增函數，

當k0時，g(x)= x+在(0，+)上是單調增函數，∴不成立；′

當k>0時，g(x)= x+在(0，]上是單調減函數，∴，∴k

（3）∵f(x)= -x²+x= -(x-1)²+，∴kn，∴n<1，

∴f(x)在區(qū)間[m，n]上是單調增函數

∴，即，方程的兩根為0，2-2k′

當2-2k>0，即k<1時，[m，n]= [0，2-2k]

當2-2k<0，即k>1時，[m，n]= [2-2k，0]′

當2-2k=0，即k=1時，[m，n] 不存在′