Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2。

（1）求異面直線PA與BC所成角的正切值；
（2）證明：平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值

Answer 1

（1）解：如圖，在四棱錐P-ABCD中，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，
所以AD=BC，且AD∥BC，
又因?yàn)锳D⊥PD，
故∠PAD為異面直線PA與BC所成角，
在Rt△PDA中，=2，
所以異面直線PA與BC所成角的正切值為：2。

（2）證明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥BC，
由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD?平面ABCD，
所以平面PDC⊥平面ABCD。
（3）解：在平面PDC中，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，連接EB
由于平面PDC⊥平面ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，
故PE⊥平面ABCD
由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成角，
在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，
在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=．
由AD∥BC，AD⊥平面PDC，
得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC
在Rt△PCB中，PB==
在Rt△PEB中，sin∠PBE==
所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為。