Question

已知定點(diǎn)A（2，-3），動(dòng)點(diǎn)B在直線2x-y+3=0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)及|AB|．

Answer 1

分析：當(dāng)直線AB與已知直線垂直時(shí)，垂足為點(diǎn)B，此時(shí)線段AB的長(zhǎng)度最短，所以根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率為2，求出直線AB的斜率為-

1

2

，根據(jù)點(diǎn)A和求出的斜率寫(xiě)出直線AB的方程，然后聯(lián)立直線AB與已知直線得到關(guān)于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答：解：如圖．易知當(dāng)AB的連線與已知直線垂直時(shí)，AB的長(zhǎng)度最短．
直線2x-y+3=0的斜率k=2，
∴AB的斜率K_AB=-

1

2

AB的斜率的方程為：
y+3=-

1

2

（x-2），⇒x+2y+4=0，

x+2y+4=0 2x-y+3=0

⇒

x=-2 y=-1

，
B的坐標(biāo)為（-2，-1），
此時(shí)|AB|=

(2+2)2+(-3+1)2

=2

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是找出直線AB與已知直線垂直即垂足為點(diǎn)B時(shí)，線段AB最短．要求學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，會(huì)根據(jù)兩直線的方程求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，是一道中檔題．