Question

如圖，某小區(qū)進(jìn)行綠化改造．計(jì)劃圍出一塊三角形綠地ABC．其中一邊利用現(xiàn)成的圍墻BC．長(zhǎng)度為1（百米）．另外兩邊AB，AC使用某種新型材料．∠BAC=120°設(shè)AB=x（百米），AC=y（百米）
（1）求x，y滿足的關(guān)系式（指出x的取值范圍）
（2）若無(wú)論如何設(shè)計(jì)另兩邊的長(zhǎng)，都能確保圍成三角形綠地，則至少需要準(zhǔn)備長(zhǎng)度為多少（百米）的此種新型材料．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理，可求x，y滿足的關(guān)系式，及x的取值范圍；
（2）利用（1）的結(jié)論及基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由余弦定理可得，1=x²+y²-2xycos120°，∴x²+y²+xy=1，其中0＜x＜1；
（2）∵（x+y）²=x²+y²+2xy=1+xy≤1+

(x+y)2

4

∴（x+y）²≤

4

3

∴x+y≤

2 3

3

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

3

3

時(shí)，取等號(hào)
∴至少需要準(zhǔn)備長(zhǎng)度為

2 3

3

百米的此種新型材料．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．