Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，AB=SA=1，AD=2，且P為BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AP與平面SPD所成角的正弦值；
（2）求二面角C-SD-P的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以AB，AD，AS所在直線為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，直線AP與平面SPD所成角通過面

AP

與面SPD的法向量的夾角間接求解
（2）分別求出平面SCD，平面PSD的一個(gè)法向量，利用兩法向量夾與二面角的關(guān)系求解．

解答：解：因?yàn)镾A⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，所以AB，AD，AS兩兩垂直，
以AB，AD，AS所在直線為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S（0，0，1），P（1，1，0）
（1）

AP

=(1，1，0)，

PD

=(-1，1，0)，

SD

=(0，2，-1)
設(shè)平面SPD的一個(gè)法向量為

n1

=(1，y，z)，
由

n1

•

PD

=0，  

n1

•

SD

=0可得y=1，z=2，
平面SPD的一個(gè)法向量為

n1

=(1，1，2)
所以cos＜

n1

，

AP

＞=

(1，1，2)•(1，1，0)

12+12+22 • 12+12+02

=

3

3

則直線AP與平面SPD所成角的正弦值等于cos＜

n1

，

AP

＞為

3

3

（2）

DC

=(1，0，0)，

SD

=(0，2，-1)，
設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為

n2

=(x，y，2)，
由

n2

•

DC

=0，  

n2

•

SD

=0可得x=0，y=1，
平面SCD的一個(gè)法向量為

n2

=(0，1，2)，
由（1）可知，平面SPD的一個(gè)法向量為

n1

=(1，1，2)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

(1，1，2)•(0，1，2)

12+12+22 • 02+12+22

=

30

6

，
由圖可知，二面角C-SD-P為銳二面角，因此二面角C-SD-P的余弦值為

30

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角的計(jì)算，利用向量的方法減少了思維量，使問題變得容易解決．