Question

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當時，f（x）=sinx

（1）求當x∈[﹣π，0]時f（x）的解析式

（2）畫出函數(shù)f（x）在[﹣π，π]上的函數(shù)簡圖

（3）求當時，x的取值范圍．

Answer 1

考點：

函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)奇偶性的判斷；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象．

專題：

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．

分析：

（1）首先取x，得到，把﹣x代入時的解析式，結(jié)合偶函數(shù)的概念可求得

x時的解析式，然后再取x，加π后得到x+π∈，代入時的解析式，

結(jié)合周期函數(shù)的概念求解f（x）；

（2）作出函數(shù)在[﹣π，0]上的圖象，根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸軸對稱得到函數(shù)在[0，π]上的圖象；

（3）先求出[﹣π，0]上滿足的x的取值范圍，根據(jù)函數(shù)是以π為周期的周期函數(shù)，把得到的區(qū)間端點值加上π的整數(shù)倍得到要求解的區(qū)間．

解答：

（1）因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（﹣x）=f（x）

而當x∈時，f（x）=sinx，所以x時，，

f（x）=f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx．

又當x時，x+π∈，

因為f（x）的周期為π，所以f（x）=f（π+x）=sin（π+x）=﹣sinx．

所以當x∈[﹣π，0]時f（x）=﹣sinx．

（2）函數(shù)圖象如圖，

（3）由于f（x）的最小正周期為π，

因此先在[﹣π，0]上來研究，即．

所以．所以，．

由周期性知，當時，（k∈Z）．

所以，當時，x的取值范圍是（k∈Z）．

點評：

本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了三角函數(shù)的周期及圖象，考查了三角函數(shù)的奇偶性，解答此題的關(guān)鍵是，通過周期變換和平移變換、把要求解解析式的范圍內(nèi)的變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的范圍內(nèi)，此題是中檔題．