Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{n+1}{2n}{a_n}$（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列$\{\frac{a_n}{n}\}$是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{a_n^2}{{16{n^2}-a_n^2}}$，若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是T_n，求證：${T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）將原式兩邊除以n+1，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得證；
（2）求得${b_n}=\frac{a_n^2}{{16{n^2}-a_n^2}}$=$\frac{1}{{4}^{n}-1}$，可得4ⁿ≥4n²，即有$\frac{1}{{4}^{n}-1}$≤$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）證明：數(shù)列{a_n}中，a₁=2，${a_{n+1}}=\frac{n+1}{2n}{a_n}$（n∈N^*），
$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，則數(shù)列$\{\frac{a_n}{n}\}$是首項(xiàng)為2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
則$\frac{{a}_{n}}{n}$=2•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即為a_n=2n•（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）證明：${b_n}=\frac{a_n^2}{{16{n^2}-a_n^2}}$=$\frac{4{n}^{2}•（\frac{1}{4}）^{n-1}}{16{n}^{2}-4{n}^{2}•（\frac{1}{4}）^{n-1}}$
=$\frac{1}{{4}^{n}-1}$，
由2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n+${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}$+1≥2n，
則4ⁿ≥4n²，
即有$\frac{1}{{4}^{n}-1}$≤$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是T_n=$\frac{1}{4-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}-1}$
≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
則${T_n}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造法和等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和和不等式的證明，注意運(yùn)用放縮法和裂項(xiàng)相消求和以及不等式的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．