Question

已知三點O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足|+|=•（+）+2．
（1）求曲線C的方程；
（2）動點Q（x，y）（-2＜x＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l向：是否存在定點P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值．若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）用坐標(biāo)表示 ，，從而可得 +，可求|+|，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合M（x，y）滿足|+|=•（+）+2，可得曲線C的方程；
（2）假設(shè)存在點P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y=，直線PB的方程是y=
分類討論：①當(dāng)-1＜t＜0時，l∥PA，不符合題意；②當(dāng)t≤-1時，，，分別聯(lián)立方程組，解得D，E的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得△QAB與△PDE的面積之比，利用其為常數(shù)，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由 =（-2-x，1-y），=（2-x，1-y）可得 +=（-2x，2-2y），
∴|+|=，•（+）+2=（x，y）•（0，2）+2=2y+2．
由題意可得=2y+2，化簡可得 x²=4y．
（2）假設(shè)存在點P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y=，直線PB的方程是y=
∵-2＜x＜2，∴
①當(dāng)-1＜t＜0時，，存在x∈（-2，2），使得
∴l(xiāng)∥PA，∴當(dāng)-1＜t＜0時，不符合題意；
②當(dāng)t≤-1時，，，
∴l(xiāng)與直線PA，PB一定相交，分別聯(lián)立方程組
，，解得D，E的橫坐標(biāo)分別是，
∴
∵|FP|=-
∴=
∵
∴=×
∵x∈（-2，2），△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)
∴，解得t=-1，
∴△QAB與△PDE的面積之比是2．
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查三角形面積的計算，同時考查學(xué)生的探究能力，屬于難題．