Question

已知函數(shù)f（x）=4x³-4ax，當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|＞1的解集為空集，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、(-∞，

  3

  4

  )
• B、(

  3

  4

  ，+∞)
• C、{

  3

  4

  }
• D、[1，+∞）

Answer 1

分析：由題意已知函數(shù)f（x）=4x³-4ax，當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|＞1的解集為空集，等價于當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|≤1的解集為全集．等價于當(dāng)x∈[0，1]時，使得|f（x）|≤1恒成立，利用函數(shù)解析式特點選擇求出函數(shù)在定義域下的最值求解即可．

解答：解：因為函數(shù)f（x）=4x³-4ax，當(dāng)x∈[0，1]時，關(guān)于x的不等式|f（x）|＞1的解集為空集?當(dāng)x∈[0，1]時，使得|f（x）|≤1恒成立，
?x∈[0，1]時，-1≤4x³-4ax≤1恒成立，
?x∈[0，1]時，

4x3-4ax+1≥0 4x3-4ax-1≤0

恒成立，①
當(dāng)x=0時，由上式可以知道：無論a取何實數(shù)都使該式①恒成立；
當(dāng)x∈（0，1]時，由①可以等價于x∈（0，1]的一切數(shù)值均使得

a≤x2+ 1 4x =x2+ 1 8x + 1 8x a≥x2- 1 4x

恒成立，即

a≤ (x2+ 1 8x + 1 8x )min a≥(x2- 1 4x )max

而x2+

1

8x

+

1

8x

≥3

3	x2• 1 8x • 1 8x

=

3

4

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時取等號）；所以a≤

3

4

對于x2-

1

4x

，令g（x）=x2-

1

4x

(x∈(0，1])，則由此函數(shù)解析式可以得到；g（x）在定義域上位單調(diào)遞增函數(shù)，所以此時該函數(shù)的最大值為：g（1）=

3

4

，所以a≥

3

4

，
綜上要使得恒成立，則

a≤ 3 4 a≥ 3 4

即a=

3

4

．
故選C

點評：此題考查了函數(shù)在定義域內(nèi)恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化，還考查了利用均值不等式及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在定義域下的最值．