Question

設(shè)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取得極小值，則

b-3

a+2

的取值范圍為

（-∞，-3）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：據(jù)極大值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2]內(nèi)取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]內(nèi)各有一個(gè)根，
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即

b＞0 a+2b+1≤0 a+b+2≥0

，
在aOb坐標(biāo)系中畫出其表示的區(qū)域，如圖，

b-3

a+2

表示點(diǎn)A（-2，3）與可行域內(nèi)的點(diǎn)B連線的斜率，
∵M(jìn)（-1，0），∴k_AM=-3，
∵N（-3，1），∴k_AN=2，
結(jié)合圖象知

b-3

a+2

的取值范圍是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-3）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，要求學(xué)生會(huì)進(jìn)行簡單的線性規(guī)劃的能力．