Question

下列四個(gè)命題：
①若m∈（0，1]，則函數(shù)f（x）=m+

3

m

的最小值為2

3

②已知平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，則α∥β
③△ABC中，

AB

和

CA

的夾角等于180°-A
④若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線l：x=-2的距離小1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x．
其中正確命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最小值，并求出此時(shí)m的值，由已知m的范圍即可判斷命題正確與否；
②若α⊥β，β⊥γ，平面α與β不一定平行，本命題錯(cuò)誤；
③根據(jù)平面向量夾角的定義即可判斷命題正確與否；
④設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出等式，化簡(jiǎn)后即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，作出判斷．

解答：解：①∵m＞0，∴m+

3

m

≥2

3

，當(dāng)且僅當(dāng)m=

3

m

，即m=

3

時(shí)取等號(hào)，
但是m∈（0，1]，故函數(shù)f（x）=m+

3

m

的最小值不為2

3

，本選項(xiàng)是假命題；
②平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，平面α與β不一定平行，本選項(xiàng)是假命題；
③把

CA

平移，使點(diǎn)C與A重合，得到

AB

和

CA

的夾角為A的補(bǔ)角，即180°-A，本選項(xiàng)為真命題；
④設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線l：x=-2的距離小1，
得：|PF|=|x+2|-1，即

(x-1)2+y2

=|x+2|-1，
當(dāng)x≥-2時(shí)，兩邊平方得：y²=4x，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x，本選項(xiàng)是真命題，
則正確命題的序號(hào)為：③④．
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：此題考查了基本不等式，拋物線的定義以及兩平面間的位置關(guān)系．基本不等式a+b≥2

ab

中a與b都大于0，且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，拋物線的定義為到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡，掌握這些知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．