Question

某工廠用7萬元錢購買了一臺新機(jī)器，運(yùn)輸安裝費(fèi)用2千元，每年投保、動力消耗的費(fèi)用也為2千元，每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用逐年增加，第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，依此類推，即每年增加1千元．問這臺機(jī)器最佳使用年限是多少年？并求出年平均費(fèi)用的最小值．（最佳使用年限佳是使年平均費(fèi)用的最小的時間）

Answer 1

分析：設(shè)這臺機(jī)器最佳使用年限是n年，則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費(fèi)用為遞增的等差數(shù)列，從而求出總費(fèi)用，求出n年的年平均費(fèi)用，利用基本不等式可求出最值和相應(yīng)的n，從而求出所求．

解答：解：設(shè)這臺機(jī)器最佳使用年限是n年，則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費(fèi)用為：
0.2+0.3+0.4+…+0.1（n+1）=

n2+3n

20

，
∴總費(fèi)用為：7+0.2+0.2n+

n2+3n

20

=7.2+

n2+7n

20

，
n年的年平均費(fèi)用為：y=

7.2+ n2+7n 20

n

=0.35+(

n

20

+

7.2

n

），
∵

n

20

+

7.2

n

≥2

7.2 20

=1.2，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

20

=

7.2

n

即n=12時等號成立∴ymin=0.35+1.2=1.55(萬元)
答：這臺機(jī)器最佳使用年限是12年，年平均費(fèi)用的最小值為1.55萬元

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，以及基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．