Question

20．已知正實(shí)數(shù)m，n滿足2＜m+2n＜4，則m²+n²的取值范圍是$（\frac{4}{5}，16）$．

Answer 1

分析 正實(shí)數(shù)m，n滿足2＜m+2n＜4，如圖所示，分別作出直線m=-2n+2，m=-2n+4．設(shè)圓O：m²+n²=r²．（r＞0）當(dāng)⊙O與直線m=-2n+2相切時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出r；⊙O經(jīng)過點(diǎn)Q（0，4），求出r．即可得出．

解答 解：正實(shí)數(shù)m，n滿足2＜m+2n＜4，如圖所示，
分別作出直線m=-2n+2，m=-2n+4．
設(shè)圓O：m²+n²=r²．（r＞0）
當(dāng)⊙O與直線m=-2n+2相切時(shí)，$r=\frac{2}{\sqrt{5}}$，r²=$\frac{4}{5}$．
⊙O經(jīng)過點(diǎn)Q（0，4），r²=16．
∴$\frac{4}{5}$＜m²+n²＜16．
∴m²+n²的取值范圍是$（\frac{4}{5}，16）$．
故答案為：$（\frac{4}{5}，16）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相切、線性規(guī)劃有關(guān)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．