Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，A₁B₁的中點(diǎn)，則異面直線AD₁與EF所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：取CC₁的中點(diǎn)M，連接MF及C₁F，則∠MEF就是所求的角（或其補(bǔ)角），再在三角形MEF中利用余弦定理求出所求角的余弦值．

解答： 解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，取棱C₁C的中點(diǎn)M，連接ME，MF，C₁F，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為A₁B₁中點(diǎn)，
∴EM∥BC₁∥A₁D₁，∴∠MEF就是異面直線AD₁，EF所成的角，
∴EM=

1

2

A1D1=

2

，又C₁F=

B1F2+B1C12

=

1+22

=

5

，
∴MF=

C1F2+C1M2

=

1+5

=

6

，同理EF=

6

，
∴在△MEF中，由余弦定理得cos∠MEF=

6 2+ 2 2- 6 2

2 2 • 6

=

3

6

．

故答案為：

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：求異面直線所成的角，一般利用平移，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，然后通過(guò)解三角形求解（一般利用余弦定理）；注意異面直線所成的角是銳角或直角，因此所求的余弦值須為正數(shù)或0．