Question

已知奇函數(shù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），當(dāng)x＞0時(shí)，
（1）求f（-2）的值；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，x＞0時(shí)，，能求出f（-2）．
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，故，再由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，能求出x＜0時(shí)，f（x）的解析式．
（3）任意0＜x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=，能證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
x＞0時(shí)，
∴…（4分）
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴…（6分）
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
∴當(dāng)x＜0時(shí)，…（9分）
（3）證明：任意0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-+1-（-+1）
==．
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)函數(shù)值的求法，考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)單調(diào)性的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．