Question

已知四棱錐的底面是正方形，底面，是上的任意一點.

（1）求證：平面平面；

（2）當時，求二面角的大小.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1)證明平面內(nèi)的直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，即可證明平面平面；(2) 為方便計算，不妨設(shè)，先以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，寫給相應(yīng)點的坐標，然后分別求出平面和平面的一個法向量，接著計算出這兩個法向量夾角的余弦值，根據(jù)二面角的圖形與計算出的余弦值，確定二面角的大小即可.

試題解析：(1)底面，所以 2分

底面是正方形，所以 4分

所以平面又平面

所以平面平面 5分

（2）證明：點為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)

由題意得，, 6分

，又

設(shè)平面的法向量為，則

，令，則， 8分

，

設(shè)平面的法向量為，則

，令，則 10分

設(shè)二面角的平面角為，則.

顯然二面角的平面角為為鈍角，所以

即二面角的大小為 12分.

考點：1.空間中的垂直關(guān)系；2.空間向量在解決空間角中的應(yīng)用.