已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．
【答案】分析：（Ⅰ）f（x）為二次函數(shù)且二次項系數(shù)為a，把不等式f（x）＞-2x變形為f（x）+2x＞0因為它的解集為（1，3），則可設(shè)f（x）+2x=a（x-1）（x-3）且a＜0，解出f（x）；又因為方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，利用根的判別式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因為f（x）為開口向下的拋物線，利用公式當(dāng)x=時，最大值為=和a＜0聯(lián)立組成不等式組，求出解集即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a．①
由方程f（x）+6a=0得ax2-（2+4a）x+9a=0．②
因為方程②有兩個相等的根，所以△=[-（2+4a）]2-4a•9a=0，
即5a2-4a-1=0．解得a=1或a=-
由于a＜0，舍去a=1．將a=-代入①得f（x）的解析式
（Ⅱ）由
及a＜0，可得f（x）的最大值為就
由解得a＜-2-或-2+＜a＜0．
故當(dāng)f（x）的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是
點評：考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用能力．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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