Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），給出下列四個(gè)判斷：
①若方程f（x）=x有實(shí)根，則方程f（f（x））=x一定有實(shí)根；
②若方程f（x）=x有實(shí)根，則方程f（f（x））=x不一定有實(shí)根；
③若方程f（x）=x沒有實(shí)根，則方程f（f（x））=x一定沒有實(shí)根；
④若方程f（x）=x沒有實(shí)根，則方程f（f（x））=x不一定沒有實(shí)根；
其中正確判斷的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：先利用方程f（x）=x有實(shí)根等價(jià)于函數(shù)y=f（x）與y=x有交點(diǎn)，推出方程f（f（x））=x一定有實(shí)根．判斷出①對(duì)．再利用互為逆否的命題真假相同判斷出③對(duì)．可得答案．

解答：解；方程f（x）=x有實(shí)根等價(jià)于函數(shù)y=f（x）與y=x有交點(diǎn)，可設(shè)交點(diǎn)為（a，a）．則a=f（a），所以f（f（a））=f（a）=a，即方程f（f（x））=x一定有實(shí)根a．故①對(duì)．
又因?yàn)樯厦娴倪^程每一步都是等價(jià)的，所以方程f（f（x））=x有實(shí)根可得方程f（x）=x一定有實(shí)根．根據(jù)互為逆否的命題真假相同，故若方程f（x）=x沒有實(shí)根，則方程f（f（x））=x一定沒有實(shí)根也為真命題．即③對(duì)．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性和根的個(gè)數(shù)的判斷問題．在解題過程中用到了轉(zhuǎn)化的思想和互為逆否的命題真假相同的結(jié)論，是一道基礎(chǔ)題，但也是易錯(cuò)題．