Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，（x∈R）．
（1）畫出a=0時函數(shù)f（x）的圖象；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）判定函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)奇偶性圖象的性質(zhì)畫出圖象即可；
（2）討論x去掉絕對值，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，討論對稱軸可求出函數(shù)的最小值即可．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=x²+|x|+1，是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱

（2）①當x＜a時，f（x）=x²-x+a+1=（x-

1

2

）²+a+

3

4

若a≤

1

2

，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1；
若a＞

1

2

，則函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（

1

2

）=a+

3

4

②當x≥a時，f（x）=x²+x-a+1=（x+

1

2

）²-a+

3

4

若a≤-

1

2

，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（-

1

2

）=-a+

3

4

且f（-

1

2

）≤f（a）
若a＞-

1

2

，則函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1
綜上，當a≤-

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為-a+

3

4

；
當-

1

2

＜a≤

1

2

，函數(shù)f（x）的最小值為a²+1
當a＞

1

2

時，函數(shù)f （x）的最小值為

3

4

+a．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性和奇偶性，以及單調(diào)性，同時考查了分類討論的數(shù)學思想和運算求解的能力，屬于中檔題．