Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，f（x）的表達(dá)式；
（3）設(shè)，x∈[0，+∞），若g（x）圖上的點(diǎn)都位于直線的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由條件知f（2）=4a+2b+c≥2恒成立
又∵取x=2時(shí)，與恒成立，
∴f（2）=2．
（2）∵
∴4a+c=2b=1，
∴b=，c=1-4a
又f（x）≥x恒成立，即ax²+（b-1）x+c≥0恒成立．
∴，整理得0
故可以解出：，
∴．
（3）解法1：由分析條件知道，只要f（x）圖象（在y軸右側(cè)）總在直線上方即可，也就是直線的斜率小于直線與拋物線相切時(shí)的斜率位置，
于是：
∴．
解法2：必須恒成立，
即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．
①△＜0，即[4（1-m）]²-8＜0，解得：；
②
解出：．又時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證不合題意
總之，．
分析：（1）由已知f（2）≥2恒成立，又由成立得（2）≤，由此兩種情況可得f（2）=2．
（2）f（-2）=0，由（1）證明知f（2）=2，f（x）的表達(dá)式中有三個(gè)未知數(shù)，由兩函數(shù)值只能得出兩個(gè)方程，再對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，這一恒成立的關(guān)系得到一0，由此可以得到a=，將此三方程聯(lián)立可解出三個(gè)參數(shù)的值，求出f（x）的表達(dá)式；
（3）方法一：由題f（x）圖象（在y軸右側(cè)）總在直線上方即可，也就是直線的斜率小于直線與拋物線相切時(shí)的斜率位置，由于f（x）圖象與y軸交點(diǎn)在直線與y軸交點(diǎn)上方，在與y軸相交點(diǎn)處的切線斜率為，故在直線與二次函數(shù)相切的切點(diǎn)處一定有切線的斜率大于直線的斜率，且＞，將兩個(gè)方程聯(lián)立，用判別式為0求m的最大值．
方法二：必須恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．
轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與x軸在x∈[0，+∞）無(wú)交點(diǎn)的問(wèn)題，由于g（x）的單調(diào)性不確定，故本題要分兩種情況討論，一種是對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，此時(shí)需要判別式小于0，一類是判別式大于0，對(duì)稱軸小于0，且x=0處的函數(shù)值大于等于0，轉(zhuǎn)化出相應(yīng)的不等式求解．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的一道綜合題，考查到了分類討論的思想，對(duì)分析轉(zhuǎn)化的推理能力要求較高．