Question

已知數(shù)列{a_n}滿足關(guān)系式an+1=

n

an

+2，n∈N*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求證：

n

+1≤an＜

n+1

+1；
（Ⅲ）求證：

n+1

-1＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2(

n+3

-

3

)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)遞推公式，計(jì)算即可．
（2）是個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，將

1

an

從分母有理化，放縮兩個(gè)角度適當(dāng)變形，考慮正負(fù)相消，使兩端和式出現(xiàn)命題中的形式．

解答：解：（Ⅰ）由題意，知a2=

5

2

，a3=

14

5

，a4=

43

14

．…（3分）
（Ⅱ）由an+1=

n

an

+2，及a₁=2，知a_n＞0．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2滿足

1

+1≤a1＜

1+1

+1，成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，

k

+1≤ak＜

k+1

+1成立，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

k

ak

+2＞

k

k+1 +1

+2=

k+1

+1.ak+1=

k

ak

+2≤

k

k +1

+2．
下面用分析法證明：

k

k +1

+2＜

k+2

+1．
只需證k+

k

+1＜(

k

+1)

k+2

，只需證k+

k

+1＜(

k

+1)

k+2

，
只需證(k+

k

+1)2＜[(

k

+1)

k+2

]2，只需證2

k

+1＞0，此式顯然成立．
所以

k

k +1

+2＜

k+2

+1成立．從而ak+1=

k

ak

+2＜

k

k +1

+2＜

k+2

+1．
由（1），（2）可知，對(duì)一切k∈N^*，

n

+1≤an＜

n+1

+1成立．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知

1

n+1 +1

＜

1

an

≤

1

n +1

，
而

1

n+1 +1

≥

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

1

n +1

=

2

( n +1)+(  n +1)

＜

2

n+3 + n+2

=2(

n+3

-

n+2

)

∴

n+1

-

n

＜

1

an

＜2(

n+3

-

n+2

)
∴(

2

-

1

)+(

3

-

2

)…+  (

n+1

-

n)

＜

1

a1

+

1

a2

+…＜2(

4

-

3

)+2(

5

-

4

) +… +2(

n+3

-

n+2

)
即

n+1

-1＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2(

n+3

-

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的直接應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法，及放縮法證明不等式．

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

無(wú)法再進(jìn)一步計(jì)算整理，故考慮逐項(xiàng)轉(zhuǎn)化，達(dá)到目的為止．