【題目】已知橢圓:()的離心率為，設(shè)直線過橢圓的上頂點和右頂點，坐標(biāo)原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)?若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，由離心率和原點到直線的距離為，可得關(guān)于的方程組，解方程組得即可得答案；

（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，，直線方程代入曲線方程，利用判別式大于0得的范圍，利用韋達(dá)定理可得與的關(guān)系，并假設(shè)存在點

使命題成立，利用斜率公式代入坐標(biāo)進(jìn)行計算，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即可得答案.

（1）設(shè)橢圓半焦距為.根據(jù)題意得，橢圓離心率，即，

所以.①

因為直線過橢圓的上頂點和右頂點，

所以設(shè)直線的方程為，即.

又由點到直線的距離為，得.②

聯(lián)立①②解得，.所以橢圓的方程為.

（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立得.所以，所以.

所以，，

則，.

假設(shè)存在定點()，使得直線，的斜率之積為非零常數(shù)，

所以.

要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)解得(負(fù)值舍去).

當(dāng)時，常數(shù)為.

所以軸的正半軸上存在定點，使得直線，的斜率之積為常數(shù).

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（1）求雙曲線的方程；

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