Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)，其中a＞0，設(shè)兩曲線有公共點P（x，y），且在點P（x，y）處的切線是同一條直線．
（1）若a=1，求P（x，y）及b的值；
（2）用a來表示b，并求b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x），g（x）的導數(shù)，求出兩個導函數(shù)在x的值即點p處的切線斜率，求出b的值．
（2）利用f（x），g（x）在x處的導數(shù)值相等，得到關(guān)于a，b的等式，分離出b，求出b的導數(shù)，令導數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊的符號求出極值，即最值．
解答：解：（1）若a=1時，
分別求導數(shù)：…（2分）
∵在P（x，y）的切線是同一條直線．
∴，且，解得：x=-3或1--（4分）
∵定義在（0，+∞）上，
∴x=-3舍去，將x=1代入得…（6分）
∴公共點，…（7分）
代入g（x）=3lnx+b∴…（8分）
（2）分別求導數(shù)：…（10分）
在P（x，y）的切線是同一條直線．
∴，即x=-3a或a，其中x=-3a舍去…（12分）
∴x=a而f（x）=g（x）得到：（ a＞0）…（13分）
令（t＞0）
∴h'（t）=2t-6tlnt
令h'（t）=2t-6tlnt=0，解得…（14分）
當h'（t）＞0時，
當h'（t）＜0時，…（15分）
∴當時h（t）取到最大值，即----（16分）
點評：本題考查曲線在切點處的導數(shù)值是曲線的切線斜率；求函數(shù)的極值，先求出導數(shù)，令導數(shù)為0，注意一定判斷根左右兩邊的符號．