Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為梯形，且AB∥DC，DC=2AB，E和F分別是棱CD和PC的中點(diǎn)，PD⊥CD，PB=BC=BD=2$\sqrt{3}$，AB=2，二面角P-AB-D為$\frac{2π}{3}$．
（1）求證：BF∥平面PAD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EF∥PD，四邊形ABED是平行四邊形，從而BE∥AD，進(jìn)而平面BEF∥平面PAD，由此能證明BF∥平面PAD．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵E和F分別是棱CD和PC的中點(diǎn)，∴EF∥PD，
∵四棱錐P-ABCD的底面為梯形，且AB∥DC，DC=2AB，
∴AB$\underset{∥}{=}$DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AD，
∵BE∩EF=E，AD∩PD=D，BE、EF?平面BEF，AD、PD?平面PAD，
∴平面BEF∥平面PAD，
∵BF?平面BEF，∴BF∥平面PAD．
解：（2）∵PB=BC=BD=2$\sqrt{3}$，E是棱CD的中點(diǎn)，∴BE⊥CD，
∵BE∥AD，AB∥DC，PD⊥CD，
∴CD⊥AD，AB⊥AD，AB⊥PD，
∵AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AP，
∵二面角P-AB-D為$\frac{2π}{3}$，∴∠PAD=120°．PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$，
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
B（2，0，0），P（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），C（4，2$\sqrt{2}$，0），D（0，2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{PB}$=（2，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{PC}$=（4，3$\sqrt{2}$，-$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，3$\sqrt{2}$，-$\sqrt{6}$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x+\sqrt{2}y-\sqrt{6}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4x+3\sqrt{2}y-\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{3}$，1），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=4a+3\sqrt{2}b-\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=3\sqrt{2}b-\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角B-PC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=0，
∴二面角B-PC-D的余弦值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查利用二面角的余弦值的求法；考查邏輯推理與空間想象能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想．