Question

已知橢圓C₁：的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3，圓，點(diǎn)A是橢圓上的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C₁上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若直線AP與圓C₂相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是橢圓C₁上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)N，直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)E（x₁，0），點(diǎn)F（x₂，0），探究x₁•x₂是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大值為3，建立方程組，即可求得橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)直線AP的方程為kx-y+=0，利用直線AP與圓C₂相切，求得直線的斜率，從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M、P、N的坐標(biāo)，利用M，P，E三點(diǎn)共線，N，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，結(jié)合M，P在橢圓上，即可求得x₁•x₂是定值．
解答：解：（1）由題意，，∴a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，∴橢圓C₁的方程為；
（2）由（1）知A（0，），且直線AP的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則直線AP的方程為kx-y+=0
圓C₂的圓心坐標(biāo)為（-4，），半徑為2
∵直線AP與圓C₂相切，
∴=2
∴
k=時(shí)，直線方程代入橢圓方程可得5x²+8x=0，∴x=0或x=-，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-）
同理可得k=-時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-）；
（3）設(shè)M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），則N（x₃，-y₃），
由M，P，E三點(diǎn)共線，可得=，∴
同理由N，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可得
∵M(jìn)，P在橢圓上，∴，
∴x₁•x₂=×=4
∴x₁•x₂是定值，定值為4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相切，考查三點(diǎn)共線，正確確定橢圓方程是關(guān)鍵．