Question

已知函數(shù)．
（1）證明函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱；
（2）若，求S_n；
（3）在（2）的條件下，若（n∈N₊），T_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若T_n＜mS_n+2對一切n∈N₊都成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數(shù)的定義域，設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）是函數(shù)y=f（x）圖象上的兩點，其中x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂=1，證明f（x₁）+f（x₂）=2即可；
（2）由（1）知當x₁+x₂=1時，f（x₁）+f（x₂）=2，將條件倒序，再相加，即可求S_n；
（3）利用裂項法求數(shù)列的和，將T_n＜mS_n+2對一切n∈N₊都成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，確定右邊的最大值，即可得到m的取值范圍．
解答：（1）證明：因為函數(shù)的定義域為（0，1），
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）是函數(shù)y=f（x）圖象上的兩點，其中x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂=1，
則有=
因此函數(shù)圖象關(guān)于點對稱             …（4分）
（2）解：由（1）知當x₁+x₂=1時，f（x₁）+f（x₂）=2
由①，可得  ②
①+②得S_n=n-1…（8分）
（3）解：當n≥2時，
當n=1時，a₁=1，T₁=1
當n≥2時，…═
∴（n∈N₊）
又T_n＜mS_n+2對一切n∈N₊都成立，即恒成立
∴恒成立，
又設(shè)，，所以f（n）在n∈N₊上遞減，所以f（n）在n=1處取得最大值1
∴2m＞1，即
所以m的取值范圍是…（12分）
點評：本題考查函數(shù)的對稱性，考查數(shù)列的求和，考查裂項法，考查恒成立問題，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值時關(guān)鍵．