Question

已知函數(shù)f（x）=x-cosx則方程f（x）=所有根的和為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用導數(shù)研究函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，可得f（x）=x-cosx在（-，）上是增函數(shù)，結(jié)合f（）=得到在（-，）上有且只有一個實數(shù)x=滿足f（x）=．再由cosx的有界性和不等式的性質(zhì)，證出當x≤-時，有f（x），且x≥時，f（x）＞．因此當x∉（-，）時，方程f（x）=沒有實數(shù)根，由此即可得到方程f（x）=只有一實數(shù)根x=，得到本題答案．
解答：解：∵f（x）=x-cosx，∴f'（x）=+sinx，
當x∈（-，）時，因為sinx，所以f'（x）=+sinx＞0
∴f（x）=x-cosx在（-，）上是增函數(shù)
∵f（）=-cos=
∴在區(qū)間（-，）上有且只有一個實數(shù)x=滿足f（x）=．
又∵當x≤-時，x＜-，-cosx≤1，∴當x≤-時，f（x）=x-cosx≤1-，
由此可得：當x≤-時，方程f（x）=沒有實數(shù)根
同理可證：當x≥時，方程f（x）≥-1＞，所以方程f（x）=也沒有實數(shù)根
綜上所述，方程f（x）=只有一個實數(shù)根x=，因此方程f（x）=所有根的和為
故答案為：
點評：本題給出基本初等函數(shù)f（x）=x-cosx，求方程f（x）=所有根的和．著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點和不等式的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．