Question

已知函數(shù)f（x）=
（1）當(dāng)a=，x∈（0，+∞）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值
（2）若對(duì)于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）用分離常數(shù)法，把f（x）分離為，再利用函數(shù)的單調(diào)性來求f（x）的最小值．
（2）先用分離常數(shù)法把函數(shù)分離，再分和1的大小進(jìn)行討論，并利用函數(shù)的單調(diào)性來求f（x）的最小值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：解：（1）當(dāng)a= 時(shí)，f（x）=．
通過討論單調(diào)性得，f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在[，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）min=f（）=+2．
（2）函數(shù)f（x）=x++2在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞）上是增函數(shù)．
若 ＞1，即a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上先減后增，f（x）min=f（ ）=2 +2．
若 ≤1，即0＜a≤1時(shí)，
f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，說明a+3＞0，得a＞-3
求實(shí)數(shù)a的取值范圍（-3，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及用函數(shù)的值域名解決不等式恒成立的條件，屬于中檔題．還考查分離常數(shù)法在求函數(shù)值域中的應(yīng)用，分離常數(shù)法求函數(shù)值域一般適用于分式函數(shù)，且分子為二次形式，而分母為一次形式的題．