Question

函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于直線對稱．據(jù)此可推測，對任意的非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）
A．{1，2}
B．{1，4}
C．{1，2，3，4}
D．{1，4，16，64}

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的對稱性，因?yàn)閙[f（x）]²+nf（x）+p=0的解應(yīng)滿足y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，
進(jìn)而可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，應(yīng)關(guān)于對稱軸x=對稱，對于D中4個(gè)數(shù)無論如何組合都找不到滿足條件的對稱軸，故解集不可能是D．
解答：解：∵f（x）=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=
令設(shè)方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解為f₁（x），f₂（x）
則必有f₁（x）=y₁=ax²+bx+c，f₂（x）=y₂=ax²+bx+c
那么從圖象上看，y=y₁，y=y₂是一條平行于x軸的直線
它們與f（x）有交點(diǎn)
由于對稱性，則方程y₁=ax²+bx+c的兩個(gè)解x₁，x₂要關(guān)于直線x=對稱
也就是說x₁+x₂=
同理方程y₂=ax²+bx+c的兩個(gè)解x₃，x₄也要關(guān)于直線x=對稱
那就得到x₃+x₄=，
在C中，可以找到對稱軸直線x=2.5，
也就是1，4為一個(gè)方程的解，2，3為一個(gè)方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}
找不到這樣的組合使得對稱軸一致，
也就是說無論怎么分組，
都沒辦法使得其中兩個(gè)的和等于另外兩個(gè)的和
故答案D不可能
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)--對稱性，二次函數(shù)在高中已經(jīng)作為一個(gè)工具來解決有關(guān)問題，在解決不等式、求最值時(shí)用途很大．