Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：，a_na_n+1＜0（n≥1），數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式
（Π）證明：數(shù)列{b_n}中的任意三項不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）對化簡整理得，令c_n=1-a_n²，進(jìn)而可推斷數(shù)列{c_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得c_n，則a²_n可得，進(jìn)而根據(jù)a_na_n+1＜0求得a_n．
（2）假設(shè)數(shù)列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，由于數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，于是有b_r＞b_s＞b_t，則只有可能有2b_s=b_r+b_t成立，代入通項公式，化簡整理后發(fā)現(xiàn)等式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，
令c_n=1-a_n²，則
又，則數(shù)列{c_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，即，
故，
又，a_na_n+1＜0
故
（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列，
由于數(shù)列{b_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是有2b_s=b_r+b_t成立，則只有可能有2b_r=b_s+b_t成立，
∴
化簡整理后可知，由于r＜s＜t，所以上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾．故數(shù)列{b_n}中任意三項不可能成等差數(shù)列．
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對于用遞推式確定數(shù)列的通項公式問題，常可把通過吧遞推式變形轉(zhuǎn)換成等差或等比數(shù)列．