Question

從圓x²+y²=4上任意一點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為Q，點(diǎn)M在線(xiàn)段PQ上，且

QM

=λ

QP

(0＜λ＜1)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）如果點(diǎn)A（-3，4）關(guān)于直線(xiàn)y=x+4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B在曲線(xiàn)C上，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），欲求點(diǎn)M的軌跡C的方程，即尋找x，y之間 的關(guān)系式，利用向量間的關(guān)系求出P點(diǎn)的坐標(biāo)后代入圓的方程即可得；
（Ⅱ）先求出點(diǎn)A（-3，4）關(guān)于直線(xiàn)y=x+4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，后將B的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)C的方程即可求得λ．

解答：解：（I）設(shè)M（x，y），由題意Q（x，0），P（x，y₁）（2分）
由

QM

=λ

QP

(0＜λ＜1)得，
（0，y）=λ（0，y₁），所以y1=

y

λ

，（4分）
∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜).（6分）
（II）設(shè)點(diǎn)B（m，n），依題意有

n-4 m+3 =-1 n+4 2 = m-3 2 +4

，（9分）
解得m=0，n=1，B（0，1）（11分）
由B在曲線(xiàn)C上得，λ=

1

2

（13分）

點(diǎn)評(píng)：求曲線(xiàn)的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題，本題考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，相關(guān)點(diǎn)法  根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．