Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1；a_n+1-a_n=1，n∈N^*，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n+b_n=2，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{c_n}滿足cn=

1	(an+1)(an+1+1)

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中a₁=1；a_n+1-a_n=1，可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為1，公差為1，進(jìn)而得到數(shù)列{a_n}的通項公式；結(jié)合S_n+b_n=2，可得S_n+1+b_n+1=2，兩式相減后整理可得

bn+1

bn

=

1

2

，即數(shù)列{b_n}為公比為

1

2

等比數(shù)列，根據(jù)S₁+b₁=2求出首項后，可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù)cn=

1

(an+1)(an+1+1)

，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得數(shù)列{c_n}的通項公式，進(jìn)而利用裂項相消法，可得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由已知得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n…2分
∵S_n+b_n=2，
∴S_n+1+b_n+1=2，
兩式相減得S_n+1-S_n+b_n+1-b_n=0，
即2b_n+1-b_n=0，
化簡得

bn+1

bn

=

1

2

…4分
所以數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，…5分
又S₁+b₁=2，
∴b₁=1…6分
所以b_n=

1

2n-1

 …7分
（2）由（1）可得cn=

1

(an+1)(an+1+1)

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

(n+1)

-

1

(n+2)

…10分
∴T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

(n+1)

-

1

(n+2)

）=

1

2

-

1

(n+2)

=

n

2(n+2)

 …12分．

點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式，裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度中檔．