Question

（甲）已知圓C的方程是x²+（y-1）²=5，直線l的方程是mx-y+1-m=0
（1）求證：對(duì)于任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)
（2）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線l的方程可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（1，1），而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，
故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，命題得證．
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB斜率存在時(shí)，由K_AB•K_CM=-1，可得 

y-1

x-1

•

y-1

x-0

=-1，化簡(jiǎn)可得AB中點(diǎn)M的軌跡方程；當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)也滿足此軌跡方程，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由于直線l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（1，1），
而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑

5

，故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，
故直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，由題意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
再由 K_AB=K_MH=

y-1

x-1

，K_CM=

y-1

x-0

，∴

y-1

x-1

•

y-1

x-0

=-1，化簡(jiǎn)可得(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

，
即AB中點(diǎn)M的軌跡方程為 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=1，此時(shí)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），
也滿足 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
綜上可得，AB中點(diǎn)M的軌跡方程為 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．